Το τρίγωνο του Πασκάλ: ένα διασκεδαστικό παιχνίδι με τράπουλα – μέρος 1ο

Πάρτε μία τράπουλα απ’ όπου θα βγάλετε όλες τις φιγούρες και τα δεκάρια. Ζητήστε από ένα φίλο σας να διαλέξει στην τύχη πέντε φύλλα και να τα τοποθετήσει στη σειρά και φανερά. Στη συνέχεια, πιάνετε αμέσως ένα χαρτί από την τράπουλα που το βάζετε στην κορυφή ενός νοητού τριγώνου με τα πέντε χαρτιά αλλά κρυφό. Αυτό το χαρτί εσείς ξέρετε ποιο θα είναι, αλλά θα δείτε μετά γιατί.

 

(κρυφό χαρτί)

.

.

.

9 – 7 – Α – 5 – 8

 

Ο φίλος σας στη συνέχεια θα φτιάξει μια πυραμίδα αθροίζοντας τα γειτονικά φύλλα με τον εξής τρόπο, για κάθε δύο φύλλα θα τοποθετεί το αποτέλεσμα της πρόσθεσης από πάνω τους. Εάν ο αριθμός βγει διφήφιος, θα αθροίσει τα ψηφία του για να γίνει μονοψήφιος. Δηλαδή, 9+7 = 16 -> 1+6 = 7 και παίρνει ένα χαρτί με τον αριθμό 7 και τον τοποθετεί πάνω από το 9 και το 7. Έπειτα, αθροίζει από την κάτω σειρά με τον ίδιο τρόπο, 7+Α = 8, Α+5 = 6 και 5+8 = 13 -> 1+3 = 4.

 

(κρυφό χαρτί)

.

.

7 – 8 – 6 – 4

9 – 7 – Α – 5 – 8

 

Επαναλαμβάνετε την ίδια διαδικασία με την καινούρια σειρά τραπουλόχαρτων μέχρι να φτάσετε στην κορυφή της πυραμίδας, οπότε:

 

(κρυφό χαρτί =8)

2 – 6

6 – 5 – Α

7 – 8 – 6 – 4

9 – 7 – Α – 5 – 8

 

Τότε θα αποκαλύψετε πως το κρυφό χαρτί στην κορυφή είναι το άθροισμα των δύο τελευταίων χαρτιών, δλδ το 8 που τοποθετήσατε αρχικά.

 

Η εξήγηση είναι απλή. Το μόνο που έχετε να υπολογίσετε από την αρχική σειρά είναι τα δύο ακριανά χαρτιά, το 9 και το 8. Θα δείτε ότι με τον ίδιο τρόπο το αποτέλεσμα βγάζει 8!

 

Αυτό το κόλπο, που μπορεί να γίνει ακόμη πιο περίπλοκο κι εντυπωσιακό, είναι μια πολύ απλή εφαρμογή του περίφημου Τριγώνου του Πασκάλ, μια μαθηματική εφαρμογή από τη Θεωρία των Παίγνιων, αλλά ήταν ήδη γνωστό στον Ομάρ Καγιάμ περίπου το 1100 μΧ και τους Κινέζους από το 1281 μΧ. Είναι γνωστό πως η Θεωρία των Παίγνιων ήταν παραγγελία στον Blaise Pascal από ένα φανατικό χαρτοπαίκτη, τον κόμη Pierre de Fermat, που ήθελε να γλυτώσει τη χασούρα του στα χαρτιά. Είναι χαρακτηριστικό πως αυτό το Τρίγωνο απεικονίζει και την ακολουθία Φιμπονάτσι ή Χρυσή Τομή ή αριθμός F (θα το θυμόσαστε από τον Κώδικα ντα Βλάκα). Είναι το Τρίγωνο αυτό όπου βασίστηκε επάνω του και η Θεωρία του Χάους. Έχετε υπόψη σας πως πολλά τέτοια τρυκ που βλέπουμε από την τηλεόραση, βασίζονται πάνω στο Τρίγωνο, θυμάμαι λχ μια εξωφρενικά στημένη εκπομπή του Όρσον Ουέλλες (την εποχή του ξεπεσμού του, έκανε γελοίες εκπομπές για να βγάζει τα προς το ζειν) με τράπουλες, αριθμούς κεφαλαίων της Βίβλου, τηλεφωνικούς καταλόγους, διπλώματα οδήγησης κ.ο.κ. που στην ουσία ήταν εφαρμογή των μαθηματικών τύπων του Πασκάλ. Και φυσικά, πολλά “έξυπνα”, τάχα θεολογικά και μη, θρίλερ με “ψευδομαθηματικά” στηρίζονται στο Τρίγωνο του Πασκάλ.

 

Γυρνώντας στο τρυκ με τα τραπουλόχαρτα, παρατηρείστε το εξής. Αν δεν πράξουμε τα αθροίσματα, το αποτέλεσμα πάλι μπορεί να βγει το ίδιο, δηλαδή:

 

71

38 – 33

24 – 14 – 19

16 – 8 – 6 – 13

9 – 7 – Α – 5 – 8

 

Όπου, 71 -> 7+1 = 8. Καλό;

 

Έχετε υπόψη σας πως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τα δεκάρια και τις φιγούρες ως 11, 12 και 13, αλλά χάριν ευκολίας του συμπαίκτη τα παραλείπουμε για να μην καθυστερεί το κόλπο. Εξάλλου, κι εδώ αθροίζετε τα ψηφία ξανά. Αλλά σε γενικές περιπτώσεις, πιθανότατα θα χρειαστεί και δεύτερη τράπουλα διότι σε μια πυραμίδα με βάση λ.χ. και τους αριθμούς 4,5,4,5 απαιτούνται έξι εννιάρια για να συμπληρωθεί.

 

Θα αναρωτηθείτε – και θα δοκιμάσετε προφανώς – τι γίνεται όταν χρησιμοποιηθούν περισσότερα φύλλα στη βάση της πυραμίδας, το αποτέλεσμα δεν είναι το ίδιο. Αλλά αυτό θα σας το εξηγήσω στο επόμενο ποστ, εκτός αν κάποιος φιλέρευνος αναγνώστης βρει τον τρόπο εν τω μεταξύ, οπότε μπορεί να μας τον θέσει. Ως βραβείο, θα κερδίσει την αγάπη μας. Μέχρι τότε σας παραπέμπω στις σχετικές πηγές:

 

Βιβλιογραφία

 

Martin Gardner: Το πανηγύρι των Μαθηματικών, εκδόσεις Τροχαλία

 

Σχετικοί Δεσμοί

  1. Wikipedia: Blaise Pascal

  2. Wikipedia: Pascal’s Triangle

  3. Math Forum: What is Pascal’s Triangle?

  4. Math Forum: Pascal’s Triangle

  5. Pascal’s Triangle: History

  6. Μια συνοπτική ελληνική παρουσίαση από τον Γιώργο Μαντζώλα

 

Advertisements

14 thoughts on “Το τρίγωνο του Πασκάλ: ένα διασκεδαστικό παιχνίδι με τράπουλα – μέρος 1ο

  1. Α, και μήπως κάποιος μπορεί να μου πει πως η διαφορά ενός αναριθμητισμού κάνει πάντα εννιά; Αν γράψω δηλαδή 785 αντί για 875, η διαφορά τους είναι 90, δλδ 9=0=9. Αυτό συμβαίνει πάντα μα πάντα. Κανένας μαθηματικός διαβάζει; (δεν είναι πολύ άσχετο, είναι;)

  2. Cyrus
    Είπαμε, στην αρχική σειρά υπολογίζεις με το μυαλό σου τα δύο ακριανά φύλλα και βάζεις το κρυφό χαρτί στη κορυφή, γιατί δεν σου βγαίνει;
    Δείμος, j95, Mauve
    Επιχειρήστε το, μαθηματικά ξέρετε και μπορείτε να σκεφτείτε κόλπα πάνω σε αυτή τη βάση. Εγώ είμαι ακόμη σκράπας 😛
    Mauve_All
    Αυτό που λες το έχω ξαναδεί κάπου αλλά δεν θυμάμαι ακριβώς, θα το ψάξω. Πάντως, δεν παρατήρησες το άλλο – είχα σκοπό να το βάλω αλλά θα το κούραζα μάλλον. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, αντί να προσθέτεις τα ψηφία ενός διψήφιου αριθμού, αφαιρείς 9. Δηλαδή, αντί για λχ 16 -> 1+6 =7, μπορείς να κάνεις τη αφαίρεση 16 – 9 = 7. Στην περίπτωση αυτή, ο αφαιρέτης ονομάζεται modulo x, όπου x, ο αφαιρέτης αριθμός. Στο παράδειγμά μας, λέμε ότι χρησιμοποιούμε modulo 9.

  3. Βασικά, πράγματι, αυτός που ζήτησε τη θεωρία των παιγνίων απ΄τον Blaise Pascal δεν ήταν ο Fermat, επίσης καταξιωμένος μαθηματικός, αλλά κάποιος Chevalier de Faire ή κάπως έτσι…! 😉

  4. ά! κι όσο για τον αριθμό των φύλλων, με ζυγά είναι που δεν πιάνει.. αν κάποιος δοκιμάσει με 7 ή 9 νομίζω ότι θα πιάσει πάλι! Πρέπει απλώς, να υπάρχει ένα ενδιάμεσο έτσι ώστε το τελικό αποτέλεσμα των μονάδων να εξαρτάται απ΄τις μονάδες των ακριανών και να μη χαθούν στις ενδιάμεσες πράξεις. – δεν είμαι σίγουρος όμως – συγγνώμη και για το double post!

  5. blakeia einai…to pano filo p bazeis stin korifi einai krifo (den to exeis dei oute esi k apla to bazeis sthn tyxh) i to bazeis epitideugmena afou breis to a8roisma ton 2 akrianon????

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s